Contents
1 Signals 11
1.1 Basic Signals
1.1.1 Unit-impulse Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2 Unit-step Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.3 Unit-ramp Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.4 Sinusoids and Complex Exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Classification of Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.1 Continuous, Discrete, and Digital Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2 Periodic and Aperiodic Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.3 Even- and Odd-symmetric Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.4 Energy and Power Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.5 Deterministic and Random Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.6 Causal and Noncausal Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Signal Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.1 Time Shifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.2 Time Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 The Discrete Fourier Transform 33
2.1 The Exponential Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 The Complex Exponential Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 Euler’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2 Real Sinusoid in terms of Complex Exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 The DFT and the IDFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1 The DFT and the IDFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2 The Criterion of Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.3 The Matrix form of the DFT and IDFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.1 Fourier Boundary Descriptor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Properties of the DFT 53
3.1 Linearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Circular Time Shifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4 Circular Frequency Shifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 Circular Time-reversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.7 Transform of Complex Conjuagtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.8 Circular Convolution and Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.8.1 Circular convolution of Time-domain Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7
3.8.2 Circular Convolution of Frequency-domain Sequences . . . . . . . . . . . . . 58
3.8.3 Circular Correlation of Time-domain Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.9 Sum and Difference of Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.10 Upsampling of a Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.11 Zero Padding the Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.12 Symmetry Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.13 Parseval’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.14 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 Two-Dimensional DFT 67
4.1 Two-Dimensional DFT as two 1-D DFTs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1.1 Computation of the 2-D DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2 The 2-D DFT and IDFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3 DFT Representation of Real-valued Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4 Properties of the 2-D DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5 Convolution and Correlation 89
5.1 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.1.1 Linear Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.1.2 Circular Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.3 2-D Linear Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2 Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2.1 The Linear Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3.1 Lowpass Filtering of Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3.2 Highpass Filtering of Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.3 Object Detection in Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.4 Orthogonal Frequency Division Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3.5 Hilbert Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6 Aliasing and Leakage 119
6.1 Aliasing Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2 Leakage Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.2.1 Modeling Data Truncation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.2.2 Tapered Windows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.2.3 Hann and Hamming windows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2.4 Reducing the Spectral Leakage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.3 Picket-Fence Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7 Fourier Series 131
7.1 Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.1.1 FS as the Limiting Case of the DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.1.2 Gibbs P