Quadratische Formen

Dieses Buch basiert auf einer Vorlesung, die der Autor in den 70er und 80er Jahren an der Universität Göttingen gehalten hat und die nun in Zusammenarbeit mit Rudolf Scharlau neu bearbeitet herausgegeben wird. Der Leser findet eine moderne Einführung in die Theorie der quadratischen Formen mit Betonung auf den Hauptergebnissen der Theorie über den rationalen Zahlen. Im ersten Teil werden in knapper, aber vollständiger Form die algebraischen Grundlagen für quadratische Formen über Bewertungsringen und Körpern behandelt, insbesondere die Theorie der Clifford-Algebren. Es folgt die Klassifikation der rationalen quadratischen Formen durch Berechnung der Witt-Gruppe des Körpers Q. Die Theorie der Gitter in quadratischen Räumen wird entwickelt bis hin zu einem vollständigen Beweis des starken Approximationssatzes und des fundamentalen Theorems von Minkowski und Siegel über das gewichtete Mittel von Darstellungsanzahlen ganzzahliger quadratischer Formen.

I. Bilineare und quadratische Formen.- 1 Symmetrische Bilinearformen.- 2 Quadrati sche Formen.- 3 Die orthogonale Gruppe und der Satz von Witt.- 4 Lokale Ringe.- II. Clifford-Algebren.- 5 Konstruktion und wichtige Eigenschaften.- 6 Raume kleiner Dimension.- 7 Zentren von Clifford-Algebren.- 8 Spingruppe und Spinornorm.- III. Witt-Gruppe und Invarianten quadratischer Formen.- 9 Die Wittsche Gruppe.- 10 Diskriminante und Arf-Invariante.- 11 Die Invarianten von Minkowski, Hasse und Witt.- IV. Quadratische Formen über endlichen Körpern.- 12 Klassifikation.- 13 Anzahlb estimmungen.- V. Quadratische Formen über Bewertungsringen.- 14 Hauptidealringe.- 15 Bewertungsringe.- 16 Lokale Körper.- VI. Quadratische Formen über Q.- 17 Die Witt-Gruppe von Q.- 18 Das quadratische Reziprozitätsgesetz.- 19 Der Satz von Minkowski und Hasse.- VII. Quadratische Formen über Z.- 20 Reduktionstheorie.- 21 Klassen und Geschlechter.- 22 Darst ellungen über Z.- VIII. Approximationssätze und indefinite Formen.- 23 Schwache Approximation.- 24 Starke Approximation.- 25 Spinorgeschlechter.- 26 Unimodulare Gitter.- IX. Nachbargitter und definite Formen.- 27 Unzerlegbare Gitter.- 28 Bestimmung von Klassen in einem Geschlecht.- 29 Darstellungen durch eine einzelne Form.- X. Der Satz von Minkowski und Siegel.- 30 Klassen und Geschlechter von Darstellungen.- 31 Adele und Haarsches Maß.- 32 Dar st ellungsanzahlen in einem Geschlecht.- 33 Der Satz von Minkowski und Siegel.- 34 Schluß des Beweises.- 35 Einige Beispiele und Anwendungen.- Literatur.