Erstes Kapitel Vorbereitung. — Grundbegriffe.- § 1. Orientierung über die Mannigfaltigkeit der Lösungen.- 1. Beispiele.- 2. Differentialgleichungen zu gegebenen Funktionenscharen und -familien.- § 2. Systeme von Differentialgleichungen.- 1. Problem der Äquivalenz von Systemen und einzelnen Differentialgleichungen.- 2. Bestimmte, überbestimmte, unterbestimmte Systeme.- § 3. Integrationsmethoden bei speziellen Differentialgleichungen.- 1. Separation der Variablen.- 2. Erzeugung weiterer Lösungen durch Superposition. Grundlösung der Wärmeleitung. Poissons Integral.- § 4. Geometrische Deutung einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei unabhängigen Variablen. Das vollständige Integral.- 1. Die geometrische Deutung einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung.- 2. Das vollständige Integral.- 3. Singuläre Integrale.- § 5. Theorie der linearen und quasilinearen Differentialgleichungen erster Ordnung.- 1. Lineare Differentialgleichungen.- 2. Quasilineare Differentialgleichungen.- § 6. Die Legendresche Transformation.- 1. Legendresche Transformation für Funktionen von zwei Veränderlichen.- 2. Die Legendresche Transformation für Funktionen von n Variablen.- 3. Anwendung der Legendreschen Transformation auf partielle Differentialgleichungen.- § 7. Die Bestimmung der Lösungen durch ihre Anfangswerte und der Existenzsatz.- 1. Formulierung und Erläuterung des Anfangswertproblems.- 2. Reduktion auf ein System von quasilinearen Differentialgleichungen.- 3. Die Bestimmung der Ableitungen längs der Anfangsmannigfaltigkeit.- 4. Existenzbeweis analytischer Lösungen von analytischen Differentialgleichungen.- Anhang zum ersten Kapitel.- § 1. Die Differentialgleichung für die Stützfunktion einer Minimalfläche.- § 2. Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung und Differentialgleichungen höherer Ordnung.- § 3. Systeme von zwei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung und Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- § 4. Darstellung der flächentreuen Abbildungen.- Zweites Kapitel Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung.- § 1. Quasilineare Differentialgleichungen bei zwei unabhängigen Veränderlichen.- 1. Charakteristische Kurven.- 2. Anfangswertproblem.- 3. Beispiele.- § 2. Quasilineare Differentialgleichungen bei n unabhängigen Veränderlichen.- § 3. Allgemeine Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Veränderlichen.- 1. Charakteristische Kurven und Fokalkurven.- 2. Lösung des Anfangswertproblems.- 3. Charakteristiken als Verzweigungselemente. Ergänzende Bemerkungen. Integralkonoid.- § 4. Zusammenhang mit der Theorie des vollständigen Integrals.- § 5. Fokalkurven und Mongesche Gleichung.- § 6. Beispiele.- 1. Die Differentialgleichung (grad u) 2 = 1.- 2. Zweites Beispiel.- 3. Die Differentialgleichung von Clairaut.- 4. Die Differentialgleichung der Röhrenflächen.- § 7. Allgemeine Differentialgleichung mit n unabhängigen Veränderlichen.- § 8. Vollständiges Integral und Hamilton-Jacobische Theorie.- 1. Enveloppenbildung und charakteristische Kurven.- 2. Die Kanonische Gestalt der charakteristischen Differentialgleichungen.- 3. Hamilton-Jacobische Theorie.- 4. Beispiel. Zweikörperproblem.- 5. Beispiel. Geodätische Linien auf einem Ellipsoid.- § 9. Hamiltonsche Theorie und Variationsrechnung.- 1. Die Eulerschen Differentialgleichungen in der kanonischen Form.- 2. Der geodätische Abstand oder das Eikonal, seine Ableitungen und die Hamilton-Jacobische partielle Differentialgleichung.- 3. Bemerkungen über den Fall homogener Integranden.- 4. Extremalenfelder und Hamiltonsche Differentialgleichung.- 5. Strahlenkegel. Huyghens Konstruktion.- 6. Hilberts invariantes Integral zur Darstellung des Eikonals.- 7. Der Satz von HAMILTON und JAGoBI.- § 10. Kanonische Transformationen und Anwendungen.- 1. Die kanonische Transformation.- 2. Neuer Beweis des Hamilton- Jacobischen Satzes.- 3. Variation der Konstanten (kanonische Störungstheorie).- Anhang zum zweiten Kapitel.- § 1. Erneute Diskussion der charakteristischen Mannigfaltigkeiten.- 1. Formale Vorbemerkungen zur Differentiation in n Dimensionen.- 2. Anfangswertproblem und charakteristische Mannigfaltigkeiten.- § 2. Systeme quasilinearer Differentialgleichungen mit gleichem Hauptteil. Neue Herleitung der Charakteristikentheorie.- Literatur zum ersten und zweiten Kapitel.- Drittes Kapitel Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung im allgemeinen.- § 1. Normalformen bei linearen Differentialgleichungsausdrücken zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen.- 1. Elliptische, hyperbolische, parabolische Normalformen.- 2. Beispiele.- § 2. Normalformen quasilinearer Differentialgleichungen.- 1. Normalformen.- 2. Beispiel. Minimalflächen.- § 3. Klasseneinteilung der linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung bei mehr unabhängigen Veränderlichen.- 1. Elliptische, hyperbolische und parabolische Differentialgleichungen.- 2. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- § 4. Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von Differentialgleichungen.- 1. Differentialgleichungen höherer Ordnung.- 2. Typeneinteilung bei Systemen von Differentialgleichungen.- 3. Bemerkungen über nichtlineare Probleme.- § 5. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 1. Allgemeines.- 2. Ebene Wellen. Verzerrungsfreiheit. Dispersion.- 3. Beispiele: Telegraphengleichung, Verzerrungsfreiheit bei Kabeln.- 4. Zylinder- und Kugelwellen.- § 6. Anfangswertprobleme, Ausstrahlungsprobleme.- 1. Anfangswertprobleme der Wärmeleitung. Transformation der 6-Funktion.- 2. Anfangswertprobleme der Wellengleichung.- 3. Methode des Fourierschen Integrals zur Lösung von Anfangswertproblemen.- 4. Lösung der unhomogenen Gleichung durch Variation der Konstanten. Retardierte Potentiale.- 5. Das Anfangswertproblem für die Wellengleichung in zwei Raumdimensionen. Absteigemethode.- 6. Das Ausstrallungsproblem.- 7. Ausbreitungsvorgänge und Huyghenssches Prinzip.- § 7. Die typischen Differentialgleichungsprobleme der mathematischen Physik.- 1. Vorbemerkungen. Beispiele typischer Problemstellungen.- 2. Grundsätzliche Betrachtungen.- Anhang zum dritten Kapitel.- Ausgleichsprobleme ulid Heavisides Operatorenkalkül.- § 1. Ausgleichsprobleme und Lösung mittels Integraldarstellungen.- 1. Beispiel. Wellengleichung.- 2. Allgemeine Problemstellung.- 3. Integral von Duhamel.- 4. Methode der Superposition von Exponentiallösungen.- § 2. Die Heavisidesche Operatorenmethode.- 1. Die einfachsten Operatoren.- 2. Beispiele.- 3. Anwendungen auf Ausgleichsprobleme.- 4. Wellengleichung.- 5. Methode zur Rechtfertigung des Operatorenkalküls. Realisierung weiterer Operatoren.- § 3. Zur allgemeinen Theorie der Ausgleichsprobleme.- 1. Die Transformation von Laplace.- 2. Lösung der Ausgleichsprobleme mit Hilfe der Laplaceschen Transformation.- 3. Beispiele.- Literatur zum Anhang des dritten Kapitels.- Viertes Kapitel Elliptische Differentialgleichungen, insbesondere Potentialtheorie.- § 1. Vorbemerkungen.- 1. Die Differentialgleichungen von Laplace, Poisson und verwandte Differentialgleichungen.- 2. Potentiale von Massenbelegungen.- 3. Greensche Formeln und Anwendungen.- 4. Die Ableitungen der Belegungspotentiale.- § 2. Poissons Integral und Folgerungen..- 1. Randwertaufgabe und Greensche Funktion.- 2. Greensche Funktion für Kreis und Kugel. Das Poissonsche Integral für Kugel und Halbraum.- 3. Folgerungen aus der Poissonschen Formel.- § 3. Der Mittelwertsatz und Anwendungen.- 1. Homogene und unhomogene Mittelwertgleichung.- 2. Umkehrung der Mittelwertsätze.- 3. Die Poissonsche Gleichung für Potentiale von Raumbelegungen.- 4. Mittelwertsätze für andere elliptische Differentialgleichungen.- § 4. Die Randwertaufgabe.- 1. Vorbemerkungen. Stetige Abhängigkeit von den Randwerten und vom Gebiet.- 2. Lösung der Randwertaufgabe mit Hilfe des alternierenden Verfahrens.- 3. Die Integralgleichungsmethode für Gebiete mit hinreichend glatten Rändern.- 4. Weitere Bemerkungen zur Randwertau
