1 N-body problem 11
1.1 Self-gravitating systems of massive points . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Fundamental rst integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Conservation of momentum . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2 Angular momentum conservation . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.3 Energy conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 Barycentric and relative systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 N-body problem solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 Virial theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 The two-body problem 31
2.1 Motion about center of mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Reduction to the plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 E ective potential energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 The trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5 Laplace{Runge{Lenz vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Geometry of conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6.1 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6.2 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6.3 Hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.7 Conic orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.7.1 Elliptical orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.7.2 Parabolic orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.7.3 Hyperbolic orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.8 Keplerian elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.9 Ephemerides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.10 The method of Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.11 Ballistics and space ight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3 The three-body problem 85
3.1 Stationary solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.1.1 Collinear solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.1.2 Triangular solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2 The restricted problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3 Zero{velocity curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3.1 The (x; y) plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3.2 The (x; z) plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.3.3 The (y; z) plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.4 About the Lagrangian points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.5 Stability of the Lagrangian points . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5.1 The equilibrium conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5.2 Collinear solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.5.3 Triangular solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.6 Variation of the elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.6.1 Variation of the orientation elements . . . . . . . . . . . 116
3.6.2 Variation of the geometric elements . . . . . . . . . . . . 118
4 Analytical mechanics 125
4.1 Lagrange function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.2 Generalized coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.3 Lagrange equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.4 Hamilton function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.5 Canonical equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.6 Constants of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.7 Elliptical orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.8 Canonical transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.8.1 Characteristic function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.8.2 Forms of the characteristic function . . . . . . . . . . . . 154
4.8.3 Canonicity conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.8.4 Canonical invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.8.5 In nitesimal canonical transformations . . . . . . . . . . 163
4.8.6 Canonical systems of motion constants . . . . . . . . . . 168
4.8.7 Canonical elements for elliptical orbit . . . . . . . . . . . 175
4.9 Jacobi equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.9.1 Jacobi equation: special cases . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.9.2 2{body problem with Hamilton{Jacoby . . . . . . . . . . 186
4.10 Element variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.10.1 Constant variation method: an example . . . . . . . . . 194
4.11 Apsidal precession . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.12 Orbits in General Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5 Gravitational potential 207
5.1 Gauss theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.2 Theorens of Poisson and Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.3 Potential of a massive point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.4 Spherical bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.5 Legendre equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.5.1 Spherical harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.5.2 Legendre equation and spherical harmonics . . . . . . . . 223
5.5.3 Associated Legendre function . . . . . . . . . . . . . . . 225
5.5.4 Spherical harmonics of integer degree . . . . . . . . . . . 227
5.6 Expansion of the potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.7 Thin layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.8 Homogeneous spheroid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
5.9 Potential of a homogeneus ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.10 Ellipsoid: outer point potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.11 Potential: explicit form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5.12 Earth distortion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
5.13 Potential with dominating body . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.14 Torus potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
A Spherical trigonometry elements 261
B Transformation formulas 267
C Vector operators 271
D The mirror theorem 275
E Kepler's equation 277
E.1 Lagrange's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
E.2 Fourier's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
E.3 Numerical solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
F Hydrogen atom 283
F.1 Bohr's atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
F.2 Quantum approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
G Variation of constants 287
H Lagrange multipliers 291
H.1 Variation of constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
I Visual binary orbits 295
J Three bodies: planarity 301
K Gravitational impact 305
L Poisson and Lagrange brackets 309
L.1 Poi