Esercizi scelti di Algebra Volume 1 Vol.1

Questo libro – primo di due volumi – presenta oltre 250 esercizi scelti di algebra ricavati dai compiti d'esame dei corsi di Aritmetica tenuti dagli autori all'Università di Pisa. Ogni esercizio viene presentato con una o più soluzioni accuratamente redatte con linguaggio e notazioni uniformi. Caratteristica distintiva del libro è che gli esercizi proposti sono tutti diversi uno dall'altro e le soluzioni richiedono sempre una piccola idea originale; ciò rende il libro unico nel genere. Gli argomenti di questo primo volume sono: principio d'induzione, combinatoria, congruenze, gruppi abeliani, anelli commutativi, polinomi, estensioni di campi, campi finiti. Il libro contiene inoltre una dettagliata sezione di richiami teorici e può essere usato come libro di riferimento per lo studio. Una serie di esercizi preliminari introduce le tecniche principali da usare per confrontarsi con i testi d'esame proposti. Il volume è rivolto a tutti gli studenti del primo anno dei corsi di laurea inMatematica e Informatica.

1 Richiami di teoria.- 1.1 Nozioni fondamentali: Gli insiemi.- Le applicazioni.- Le relazioni.- Il principio di induzione.- Le operazioni.- I numeri.- 1.2 Combinatoria.- 1.3 I numeri interi: La divisibilità tra interi.- Le congruenze.- L'aritmetica modulare.- 1.4 I gruppi: Definizione e prime proprietà. – Sottogruppi.- Prodotto di sottogruppi.- Classi laterali di un sottogruppo.- Sottogruppi normali.- Il gruppo simmetrico.- Omomorfismi di gruppi.- Prodotto diretto di gruppi.- 1.5 Gli anelli: Definizione e prime proprietà.- Sottoanelli, ideali e quozienti.- Anelli di polinomi.- Divisibilità tra polinomi.- Fattorizzazione di polinomi.- Quozienti di anelli di polinomi.- 1.6 I campi: Caratteristica di un campo.- Gruppo moltiplicativo.- Estensioni di campi.- Campo di spezzamento.- Campi.- 1.7 Esercizi Preliminari.- 2 Esercizi: 2.1 Successioni.- 2.2 Combinatoria.- 2.3 Congruenze.- 2.4 Gruppi.-2.5  Anelli e Campi.- 3 Soluzioni: 3.1 Successioni.- 3.2 Combinatoria.- 3.3 Congruenze.- 3.4 Gruppi.- 3.5 Anelli e Campi.

Ilaria Del Corso dal 1990 al 1992 ha frequentato il corso di Perfezionamento presso la Scuola Normale Superiore di Pisa e dal 2001 è professore associato in Algebra presso l'Università di Pisa. Ha lunga esperienza nell'insegnamento dell'Algebra e della Teoria Algebrica dei Numeri. La sua ricerca si svolge nell'ambito della Teoria Algebrica dei Numeri in particolare è rivolta allo studio dei campi di numeri e dei campi locali, delleproprietà della ramificazione e allo studio della struttura di modulo di Galois.

Roberto Dvornicich studente della Scuola Normale Superiore di Pisa, si è laureato in Matematica all'Università di Pisa nel 1972, e successivamente ha frequentato il corso di Perfezionamento presso la Scuola Normale. E' professore ordinario di Algebra all'Università di Pisa dal 1990. Le sue ricerche si svolgono principalmente in teoria algebrica dei numeri (proprietà' aritmetiche dei campi di numeri e dei campi locali) e in analisi diofantea (soluzioni di equazioni in cui le variabili sono numeri interi oppure appartenenti ad un campo di numeri).