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klein felix - vorlesungen über nicht-euklidische geometrie

Vorlesungen über Nicht-Euklidische Geometrie




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Dettagli

Genere:Libro
Lingua: Tedesco
Editore:

Springer

Pubblicazione: 03/2012
Edizione: Softcover reprint of the original 1st ed. 1967





Sommario

Erster Teil: Einführung in die projektive Geometrie.- I: Die Grundbegriffe der projektiven Geometrie.- 1. Die affinen, die homogenen und die projektiven Koordinaten.- Die affinen Koordinaten.- Die homogenen Koordinaten.- Die projektiven Koordinaten.- Zusammenhang zwischen den affinen und projektiven Koordinaten.- Übersicht über die Entwicklung der Geometrie.- 2. Die Zusammenhangsverhältnisse der projektiven Gebilde; die Einseitigkeit der projektiven Ebene.- 3. Die homogenen linearen Substitutionen.- Die homogenen linearen Substitutionen; der Gruppenbegriff.- Kogredienz und Kontragredienz.- 4. Die projektiven Transformationen.- Die projektiven, frei-affinen und zentro-affinen Transformationen.- Das Vorzeichen der Substitutionsdeterminante.- Die anschauliche Wiedergabe der projektiven Transformationen.- Die Fixpunkte einer projektiven Transformation.- 5. Die n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten.- 6. Projektive Geraden- und Ebenenkoordinaten; das Prinzip der Dualität.- Die projektiven Geradenkoordinaten in der Ebene.- Die projektiven Ebenenkoordinaten.- Die Dualität in der Ebene.- Die Dualität im Raum.- Der in sich duale Aufbau der projektiven Geometrie.- 7. Die Doppelverhältnisse.- Elementare Eigenschaften.- Das Doppelverhältnis von vier Punkten auf einer Geraden.- Das Doppelverhältnis im Geraden- und Ebenenbüschel.- Bestimmung der projektiven Koordinaten durch Doppelverhältnisse.- 8. Imaginäre Elemente.- Einführung der imaginären Punkte.- Die imaginären Elemente in der Ebene.- Die imaginären Elemente im Raum.- Die anschauliche Wiedergabe der imaginären Punkte einer geraden Linie in der Zahlebene und auf der Zahlkugel.- Die Antikollineationen.- Historisches.- II: Die Gebilde zweiten Grades.- 1. Die Polarverwandtschaft der Gebilde zweiter Ordnung und Klasse.- Die Definition der Gebilde zweiter Ordnung und Klasse.- Die Polarverwandtschaft der Gebilde zweiter Ordnung.- Die Polarverwandtschaft der Gebilde zweiter Klasse.- Die wichtigsten Sätze über die Polarverwandtschaft.- 2. Das Entsprechen der nichtausgearteten Ordnungs- und Klassengebilde zweiten Grades.- 3. Die Einteilung der Gebilde zweiter Ordnung.- Einteilung der Flächen zweiter Ordnung nach dem Rang der zugehörigen Determinante.- Beziehung der Flächen zweiter Ordnung auf ein Polartetraeder.- Weitere Einteilung der Flächen zweiter Ordnung nach den Realitätseigenschaften.- Die entsprechende Einteilung der Kurven und Punktsysteme zweiter Ordnung.- Historisches zur Einteilung der Gebilde zweiter Ordnung.- 4. Die Einteilung der Gebilde zweiter Klasse; Beziehungen zur Einteilung der Gebilde zweiter Ordnung.- Die Einteilung der Flächen zweiter Klasse.- Die Beziehungen zwischen den verschiedenen Flächenarten zweiter Ordnung und Klasse.- Entsprechende Betrachtungen für die Kurven zweiter Klasse.- 5. Die geraden Linien auf den nicht ausgearteten Flächen zweiter Ordnung.- 6. Die geometrischen Übergänge zwischen den einzelnen Gebilden zweiten Grades; die Einteilung ieser Gebilde.- Die Übergänge auf der geraden Linie.- ü Die Übergänge in der Ebene.- Zusammenfassung der Kurven zweiter Ordnung und Klasse zu den Kurven zweiten Grades.- Die Übergänge im Raum.- Zusammenfassung der Flächen zweiter Ordnung und Klasse zu den Flächen zweiten Grades.- III: Die Kollineationen, die ein Gebilde zweiten Grades in sich überführen.- 1. Der eindimensionale Fall.- Die komplexen Kollineationen, die ein nichtausgeartetes Gebilde in sich überführen.- Reelle Kollineationen.- Die Kollineationen, die einen doppelt zählenden Punkt in sich überführen.- Der Übergang der verschiedenen Fälle ineinander.- 2. Der zweidimensionale Fall.- Die komplexen Kollineationen, die ein nichtausgeartetes Gebilde in sich überführen.- Reelle Kollineationen.- Die invarianten Elemente.- Die Auffassung der Kollineationen als Drehungen.- Die Kollineationen, die ein ausgeartetes Gebilde in sich überführen.- Der Übergang der verschiedenen Fälle ineinander.- 3. Der dreidimensionale Fall.- Die komplexen Kollineationen, die ein nichtausgeartetes Gebilde in sich überführen die Schiebungen.- Reelle Kollineationen.- Die invarianten Elemente.- Die Drehungen und Schraubungen.- Die Kollineationen, die ein ausgeartetes Gebilde in sich überführen.- Der Übergang der verschiedenen Fälle ineinander.- Zweiter Teil: Die projektive Maßbestimmung.- IV: Die Einordnung der euklidischen Metrik in das projektive System.- 1. Die metrischen Grundformeln der euklidischen Geometrie.- Die Entfernungsformeln.- Die Winkelformeln.- 2. Diskussion der metrischen Formeln; die beiden Kreispunkte und der Kugelkreis.- Diskussion der Entfernungsformeln.- Diskussion der Winkelformeln.- Die Kreispunkte und der Kugelkreis.- 3. Die euklidische Metrik als projektive Beziehimg zu den fundamentalen Gebilden.- Die Darstellung des euklidischen Winkels durch ein Doppelverhältnis.- Die entsprechende Umformung der euklidischen Entfernung.- 4. Die Ersetzung der Kreispunkte und des Kugelkreises durch reelle Gebilde.- 5 Die Metrik im Strahl- und Ebenenbündel; die sphärische und die elliptische Geometrie.- Die Metrik im Bündel.- Beziehungen zur Geometrie auf der Kugel.- Die elliptische Geometrie.- Die Beziehungen zwischen der elliptischen und sphärischen Geometrie.- V: Die von der euklidischen Geometrie unabhängige Einführung der projektiven Koordinaten.- 1. Die Konstruktion der vierten harmonischen Elemente.- 2. Die Koordinateneinführung im eindimensionalen Gebiet.- 3. Die Koordinateneinführung in der Ebene und im Raum.- VI: Die projektiven Maßbestimmungen.- 1. Die nichtausgearteten Maßbestimmungen.- Die Festlegung der Entfernungen und Winkel durch Doppelverhältnisse.- Die analytischen Ausdrücke für die Entfernungen und Winkel.- Die elliptische und hyperbolische Maßbestimmung auf der Geraden.- Die elliptische und hyperbolische Maßbestimmung im Geraden- und Ebenenbüschel.- Die elliptische und hyperbolische Maßbestimmung in der Ebene.- Die elliptische und hyperbolische Maßbestimmung im Raum.- 2. Die ausgearteten Maßbestimmungen.- Die gerade Linie.- Das Geraden- und Ebenenbüschel.- Die Ebene.- Der Raum; abschließende Bemerkungen.- 3. Die Dualität.- 4. Die starren Transformationen.- Die starren Transformationen und die Ähnlichkeitstransformationen.- Die Bewegungen und Umlegungen.- Erzeugung der Bewegungen durch spezielle Transformationen.- VII: Die Beziehungen zwischen der elliptischen, euklidischen und hyperbolischen Geometrie.- 1. Die Sonderstellung der drei Geometrien.- 2. Der Übergang von der elliptischen über die euklidische zur hyperbolischen Geometrie.- 3. Die Darstellung der elliptischen und hyperbolischen Geometrie auf der euklidischen Kugel von reellem und imaginärem Radius.- 4. Herleitung der Formeln der elliptischen und hyperbolischen Geometrie aus denen der Geometrie auf der euklidischen Kugel.- Trigonometrische Formeln.- Grenzübergang zur euklidischen Geometrie.- Formeln für Kreisumfang und -inhalt.- 5. Winkelsumme und Inhalt des Dreieckes.- Die elliptische Geometrie.- Die hyperbolische Geometrie.- Die euklidische Geometrie.- Die Verallgemeinerung auf höhere Dimensionenzahlen.- 6. Die euklidische und die beiden nichteuklidischen Geometrien als System der Maßbestimmungen, die auf die Außenwelt passen.- VIII: Besondere Untersuchung der beiden nichteuklidischen Geometrien.- 1. Die elliptische und die hyperbolische Geometrie auf der Geraden.- Die elliptische Gerade.- Die hyperbolische Gerade.- 2. Die elliptische Geometrie der Ebene.- Allgemeines; Dualität.- Bewegungen.- Einige Sätze aus der Kreislehre.- Die Kongruenzsätze.- Die Schnittpunktsätze im Dreieck.- Abschließende Bemerkungen.- 3. Die hyperbolische Geometrie der Ebene.- Allgemeines; Parallelen.- Über senkrechte Gerade.- Die Umlegungen.- Die Bewegungen; ihre Klassifikation nach Fixelementen; die Kreise.- Abschließende Bemerkungen.- 4. Die Theorie der Kurven zweiten Grades in den ebenen nichteuklidischen Geometrien.- 5. Die elliptische Geometrie des Raumes.- Allgemeines.- Die Cliffordschen Parallelen und Schiebungen.- Beliebige Bewegungen, insbesonde










Altre Informazioni

ISBN:

9783642950278

Condizione: Nuovo
Collana: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
Dimensioni: 235 x 155 mm Ø 528 gr
Formato: Brossura
Illustration Notes:XII, 330 S.
Pagine Arabe: 330
Pagine Romane: xii


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