Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen

Als dieses Buch zum ersten Mal erschien (als Band 2 der neugegründeten Grundlehren), lobte man einhellig die Anlage und den Stil des Bandes. Selten nur blieb ein Buch über sechs Jahrzehnte hinweg wegen seiner hervorragenden Didaktik und seiner anregenden Formulierungen so gefragt. In dieser neuen Auflage beschreibt Wolfgang Walter, der Knopp noch persönlich kannte, die Wirkungsgeschichte und Bedeutung von Knopps klassischer Einführung in die Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen.

Erster Teil. Reelle Zahlen und Zahlenfolgen.- I. Kapitel. Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen.- § 1. Das System der rationalen Zahlen und seine Lücken.- § 2. Rationale Zahlenfolgen.- § 3. Die irrationalen Zahlen.- § 4. Vollständigkeit und Einzigkeit des Systems der reellen Zahlen.- § 5. Die Systembrüche und der Dedekindsche Schnitt.- Aufgaben zum I. Kapitel (1—8).- II. Kapitel. Reelle Zahlenfolgen.- § 6. Beliebige reelle Zahlenfolgen und Nullfolgen.- § 7. Potenz, Wurzel und Logarithmus. Spezielle Nullfolgen.- § 8. Konvergente Zahlenfolgen. Der Cauchysche Grenzwertsatz und seine Verallgemeinerungen.- § 9. Die beiden Hauptkriterien.- § 10. Häufungswerte und Häufungsgrenzen.- §11. Unendliche Reihen, Produkte und Kettenbrüche.- Aufgaben zum II. Kapitel (9—33).- Zweiter Teil. Grundlagen der Theorie der unendlichen Reihen.- III. Kapitel. Reihen mit positiven Gliedern.- § 12. Das erste Hauptkriterium und die beiden Vergleichskriterien.- § 13. Das Wurzel- und das Quotientenkriterium.- § 14. Reihen mit positiven monoton abnehmenden Gliedern.- Aufgaben zum III. Kapitel (34—44).- IV. Kapitel. Reihen mit beliebigen Gliedern.- § 15. Das zweite Hauptkriterium und das Rechnen mit konvergenten Reihen.- § 16. Absolute Konvergenz. Umordnung von Reihen.- § 17. Multiplikation unendlicher Reihen.- Aufgaben zum IV. Kapitel (45—63).- V. Kapitel. Potenzreihen.- § 18. Der Konvergenzradius.- § 19. Funktionen einer reellen Veränderlichen.- § 20. Haupteigenschaften der durch Potenzreihen dargestellten Funktionen.- § 21. Das Rechnen mit Potenzreihen.- Aufgaben zum V. Kapitel (64—73).- VI. Kapitel. Die Entwicklungen der sog. elementaren Funktionen.- § 22. Die rationalen Funktionen.- §23. Die Exponentialfunktion.- § 24. Die trigonometrischen Funktionen.- § 25. Die binomische Reihe.- § 26. Die logarithmische Reihe.- § 27. Die zyklometrischen Funktionen.- Aufgaben zum VI. Kapitel (74—84).- VII. Kapitel. Unendliche Produkte.- § 28. Produkte mit positiven Gliedern.- § 29. Produkte mit beliebigen Gliedern. Absolute Konvergenz.- § 30. Zusammenhang zwischen Reihen und Produkten. Bedingte und unbedingte Konvergenz.- Aufgaben zum VII. Kapitel (85—99).- VIII. Kapitel. Geschlossene und numerische Auswertung der Reihensumme.- § 31. Problemstellung.- § 32. Geschlossene Auswertung der Reihensumme.- § 33. Reihentransformationen.- § 34. Numerische Berechnungen.- § 35. Anwendung der Reihentransformationen bei numerischen Berechnungen.- Aufgaben zum VIII. Kapitel (100—132).- Dritter Teil. Ausbau der Theorie.- IX. Kapitel. Reihen mit positiven Gliedern.- § 36. Genauere Untersuchung der beiden Vergleichskriterien.- § 37. Die logarithmischen Vergleichsskalen.- § 38. Spezielle Vergleichskriterien II. Art.- § 39. Die Sätze von Abel, Dini und Pringsheim und neue Herleitung der logarithmischen Vergleichsskalen aus ihnen.- § 40. Reihen mit positiven monoton abnehmenden Gliedern.- § 41. Allgemeine Bemerkungen zur Konvergenztheorie der Reihen mit positiven Gliedern.- § 42. Systematisierung der allgemeinen Konvergenztheorie.- Aufgaben zum IX. Kapitel (133—141).- X. Kapitel. Reihen mit beliebigen Gliedern.- §43. Konvergenzkriterien für Reihen mit beliebigen Gliedern.- § 44. Umordnung nur bedingt konvergenter Reihen.- § 45. Multiplikation nur bedingt konvergenter Reihen.- Aufgaben zum X. Kapitel (142—153).- XI. Kapitel. Reihen mit veränderlichen Gliedern (Funktionenfolgen).- § 46. Gleichmäßige Konvergenz.- § 47. Gliedweise Grenzübergänge.- § 48. Kriterien für gleichmäßige Konvergenz.- § 49. Fouriersche Reihen.- A. Die Eulerschen Formeln.- B. Das Dirichlctsche Integral.- C. Konvergenzbedingungen.- § 50. Anwendungen der Theorie der Fourlekschen Reihen.- § 51. Produkte mit veränderlichen Gliedern.- Aufgaben zum XI. Kapitel (154—173).- XII. Kapitel. Reihen mit komplexen Gliedern.- § 52. Komplexe Zahlen und Zahlenfolgen.- § 53. Reihen mit komplexen Gliedern.- § 54. Potenzreihen. Analytische Funktionen.- § 55. Die elementaren analytischen Funktionen.- I. Die rationalen Funktionen.- II. Die Exponentialfunktion.- III. cos z und sin z.- IV. ctg z und tg z.- V. Die logarithmische Reihe.- VI. Die arc sin-Reihe.- VII. Die arctg-Reihe.- VIII. Die Binomialreihe.- § 56. Reihen mit veränderlichen Gliedern. Gleichmäßige Konvergenz. Weierstrassscher Doppelreihensatz.- § 57. Produkte mit komplexen Gliedern.- § 58. Spezielle Klassen von Reihen analytischer Funktionen.- A. Dirichletsche Reihen.- B. Fakultätenreihen.- C. Lambertsche Reihen.- Aufgaben zum XII. Kapitel (174—199).- XIII. Kapitel. Divergente Reihen.- § 59. Allgemeine Bemerkungen über divergente Zahlenfolgen und die Verfahren zu ihrer Limitierung.- § 60. Das C- und H-Verfahren.- § 61. Anwendung der C1-Summierung auf die Theorie der FOURIERschen Reihen.- § 62. Das A-Verfahren.- § 63. Das E-Verfahren.- Aufgaben zum XIII. Kapitel (200—216).- XIV. Kapitel. Die Eulersche Summenformel. Asymptotische Entwicklungen.- § 64. Die Eulersche Summenformel.- A. Die Summenforinel.- B. Anwendungen.- C. Restabschätzungen.- § 65. Asymptotische Reihen.- § 66. Spezielle asymptotische Entwicklungen.- A. Beispiele zum Entwicklungsproblem.- B. Beispiele für das Summierungsproblem.- Aufgaben zum XIV. Kapitel (217—225).- Literatur.- Namen- und Sachverzeichnis.