Erster Teil. Funktionen einer Veränderlichen.- Differentialrechnung.- Funktionsbegriff, Grenzwert, Differentialquotient.- Begriff der Funktion 1. — Darstellung der Funktionen durch eine Tabelle 2. — Bezeichnungen, Formeln 3. — Weiteres über Funktionen: Zunehmende und abnehmende Funktionen; Maximum und Minimum; Starke und schwache Funktionen 4. — Proportionalität 4. — Beispiele für Proportionalität: Geschwindigkeit; Dichte; Kapazität; Leitfähigkeit 6. — Diagramme 6. — Proportionalität im Diagramm 7. — Die lineare Funktion und die Differenzenquotienten 9. — Beispiele für lineare Funktionen: Gesetz von Gay-Lussac; Geschwindigkeit 11. — Versuch der Berechnung der Geschwindigkeit einer ungleichmäßigen Bewegung 12. — Die momentane Geschwindigkeit 14. — Ein mathematisches Bedenken 15. — Nochmalige Berechnung der Momentangeschwindigkeit 16. — Kritik des vorigen Resultates 18. — Begriff des Grenzwertes 19. — Beispiele für den Grenzwert: Vieleck; Reihen 19. — Definition des Grenzwertes 20. — $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin {\text{ }}x}}{x} = 1$$ 21.— Der Differentialquotient 22. — Geometrische Bedeutung des Differentialquotienten. Steigung der Tangente an einer Kurve 23. — Die Geschwindigkeit. Bemerkungen über das unendlich Kleine 24. — Weitere Beispiele für den Differentialquotienten: linearer thermischer Ausdehnungskoeffizient; Molwärme; Beschleunigung; Dampfspannung; Reaktionsgeschwindigkeit 25..- Einfachste Anwendungen.- Die Differentialquotienten von x2, ax2, cf(x), (cx + b), einer Summe, einer Konstanten, von x3, $$\sqrt x ,\frac{1}{2}$$ 27.— Übungsbeispiele: Flächeninhalt des Kreises, des Kreisringes; Volum der Kugel; Differentiationen 33. — Umgekehrte Proportionalität 34. — Extremwerte 35. — Beispiele für Extremwerte: Volum des Quaders, des Zylinders, des oben offenen Zylinders; f(x) = 3 x ? x2; das Ionenminimum des Wassers; Umfang des Rechteckes; Wurf nach aufwärts 37. — Differenzieren nach einer Zwischenfunktion (Kettenregel) 40. — Die Lichtbrechung 42..- Differentiation algebraischer Funktionen.- Definition. Die Potenzfunktion. Herleitung von $$\frac{{d{x^n}}}{{dx}} = n{\text{ }}{x^{n - 1}}$$ 44. — Beispiele: Differentiationen; Schluß vom Differentialquotienten auf die Funktion; Berechnung des Weges aus der Geschwindigkeit bei der gleichförmig beschleunigten Bewegung; Arbeit beim Dehnen einer Feder; Berechnung der energiereichsten Wellenlänge im kontinuierlichen Röntgenspektrum 45. — Der Differentialquotient eines Produktes von Funktionen 48. — Beispiele: Differentiationen; Maximale Beleuchtungsstärke 48. — Erweiterung der Produktenregel 50. — Differentialquotient eines Bruches; Beispiele 51. — Einteilung der Funktionen 52..- Differentiation von Logarithmus, Exponentialfunktion und Winkelfunktionen.- Der Differentialquotient des Logarithmus 52. — Beispiele: Differentiationen; das logarithmische Differenzieren; Schluß auf die ursprüngliche Funktion; Arbeit bei der isothermen Gaskompression 54. — Differentialquotient der Exponentialfunktion 57. — Beispiele: Differentiationen.; Differentiation der Dampfdruckformel; Abklingen einer radioaktiven Substanz; Absorption von Wellenstrahlung; Verifikation der Formel für das Ansteigen eines Stromes auf seinen Onmschen Wert bei Anwesenheit von Selbstinduktion 58. — Berechnung der Differentialquotienten der Winkelfunktionen; Diskussion der Resultate an Schaubildern 61. — Beispiele: Differentiationen; die harmonische Schwingung 63. — Graphische Differentiation von sin x und cos x 65..- Differentiale und ihre Anwendung.- Definition 66. — Formeln für Differentiale 67. — Beispiele: Schluß vom Differential auf die Funktion 69. — Naturwissenschaftliche Anwendungen; Allgemeines 69. — Beispiele: Berechnung der Arbeit; Elektrisches Potential; Kompressionsarbeit; Lichtabsorption; Zerfall einer radioaktiven Substanz; Hypsometrische Formel 70. — Allgemeines über die exponentielle Abhängigkeit 73. — Beziehungen zwischen Differentialen als Näherungsformeln 75. — Rechnungsregeln mit kleinen Größen 76..- Die höheren Differentialquotienten.- Definition 77. — Beispiele: Die Differentialgleichung zweiter Ordnung; Elastische Schwingungen 78. — Geometrische Bedeutung des zweiten Differentialquotienten; Theorie der Extremwerte; Wendepunkte 79. — Zusammenfassendes Beispiel für die geometrische Bedeutung des ersten und zweiten Differentialquotienten 82..- Differentiation der Kreisfunktionen.- Integralrechnung.- Das unbestimmte Integral.- Definition, Integrationskonstante 85: — Allgemeine Formeln 86. — Beispiele 87. — Grundformeln der Integralrechnung 87. — Beispiele: Integrationen; Isotherme Gaskompression; Radioaktiver Zerfall; Absorptionsgesetz; Barometerformel; Arbeit beim Spannen einer Feder; das elektrische Potential; Kinetische Energie; Adiabate Gaskompression 89. — Einführung einer neuen Veränderlichen (Substitutionsmethode) 93. — Integration der Differentialgleichung der unimolekularen Reaktion 95. — Beispiele zur Substitutionsmethode 96. — Die bimolekulare vollständig verlaufende Reaktion mit gleichen Anfangskonzentrationen 97. — Integration der Differentialgleichung $$ \frac{{dy}}{{dx}} = {a^ - } - by $$ 98.— Naturwissenschaftliche Anwendungen von $$ \frac{{dy}}{{dx}} = a - by $$ (a, b konst.): Nacherzeugung radioaktiver Substanz aus der Muttersubstanz; Ansteigen eines elektrischen Stromes beim Anlegen konstanter Spannung an einen Widerstand mit Selbstinduktion; Fall im widerstehenden Mittel; Rohreite zuckerinversion 99. — Die Methode der teilweisen Integration 101. — Beispiele 102. — Integration durch Partialbruchzerlegung. Das Integral $$ \int {\frac{{dx}}{{\left( {a - x} \right)\left( {b - x} \right)}}} $$ 103. — Die bimolekulare, vollständig verlaufende Reaktion 104. — Einschaltung über die Ermittlung unbestimmter Werte von der Form, $$ \frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty } $$, — 0 ?, ? — ? 105. — Beispiel für Partialbruchzerlegung. Wiedervereinigung der Gasionen 108. — Die Autokatalyse unimolekularer Reaktionen 109..- Das bestimmte Integral.- Begriff des bestimmten Integrals 111. — Rechenbeispiele 114. Praktische Anwendungen: Berechnung von Weg, Arbeit, Potential, kinetischer Energie; Arbeit bei der isothermen Gaskompression; Barometerformal; Unimolekulare Reaktion 115. — Flächeninhaltsbestimmung 118. — Beispiele für Flächeninhaltsberechnungen: Rechteck; Rechtwinkliges Dreieck; Kreis; Ellipse; Parabelsegment 120. — Deutung von bestimmten Integralen als Fläche 122. — Beispiele: Der Weg im Zeit-Geschwindigkeit-Schaubild; die Arbeit im Kraft-Weg-Schaubild; Arbeit im Druck-Volum-Schaubild 122. — Kreisprozeß 125: — Vorzeichen der Arbeit 126. Der Carnotsche Kreisprozeß 126. — Weiteres über Flächeninhaltsermittlung 128. — Die Differentiation eines bestimmten Integrals nach seinen Grenzen 129. — Rechenregeln bei geraden und ungeraden Funktionen 129. — Mittlere Stromstärke 130. — Mittlere Ordinate einer Kurve = Mittelwert einer Funktion 131. — Galvanometrischer Mittelwert Jg der Stromstärke 132. — Der effektive Mittelwert der Stromstärke Jeff 133. — Der Mittelwert des elektrischen Momentes von Dipolen, ein Beispiel für die statistische Methode in den Naturwissenschaften 134. — Angenäherte Integration: Trapezformel; Stirlings Näherungsformel für N !; Simpsons Regel 137. — Näherungswert von $$ \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin {\text{ }}x{\text{ }}d{\text{ }}x} $$ 141. — Verwendung von Simpsons Regel in der chemischen Kinetik 142. — Wiederholte Integration 143. — Doppelintegral 144. — Berechnung der Wahrscheinlichkeitsintegrale. Anwendung auf Maxwells Geschwindigkeitsverteilungsgesetz 145. Berechnung eines Trägheitsmomentes 148..- Etwas über Reihen.- Konvergenz 150. — Kriterium der Konvergenz. Die unendliche geometrische Reihe 150. — Reihe von Mac Laurin 153. — Reihe für ex 154. — Reihen für sin x und cos x 156. — eix = cos x + i sin x. Eulersche Formel 157. — Die Reihe von Taylor 158. — Die Reihe für ln x 159. Die binomische Reihe 160. — Integration durch unendliche Reihen 161..- Bedingungen für die Differenzierba
