Integralgleichungen Einführung in Lehre und Gebrauch

Inhaltsübersicht.- Erster Teil. Was ist eine Integralgleichung? Ergebnisse der mathematischen Theorie, insbesondere bei den linearen Integralgleichungen zweiter Art mit symmetrischem Kern.- 1. Einleitende Bemerkungen.- 2. Einfachste Schwingungsaufgaben führen auf eine Uneare Integralgleichung mit symmetrischem Kern.- a) Eine Integralgleichung erster Art.- b) Eine Integralgleichung zweiter Art.- c) Differentialgleichung der schwingenden Saite. Der Fundamentalsatz für symmetrische Integralgleichungen zweiter Art.- d) Die inhomogene Integralgleichung. Ankündigung des Alternativsatzes.- 3. Zusammenhang mit den gewöhnlichen Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung.- a) Die allgemeine Differentialgleichung erster Ordnung und eine Volterrasehe Integralgleichung.- b) Die Differentialgleichung zweiter Ordnung.- c) Die verallgemeinerte Schwingungsgleichung $$\frac{{\partial ^2 U}}{{\partial x^2 }} + p(x) \cdot \frac{{\partial U}}{{\partial x}} + q(x) \cdot U = r(x) \cdot \frac{{\partial ^2 U}}{{\partial t^2 }}$$.- 4. Der elementare Teil der Theorie.- a) Die Neumannsche Reihe.- b) Der lösende Kern.- c) Ein negatives Ergebnis; die „umgestellte“ Gleichung. Orthogonalität von Funktionen.- d) Die Volterrasche Integralgleichung. Vererbungserscheinungen.- e) Zusammenstellung der Hauptsätze.- 5. Die Beziehungen der Integralgleichungen zu den partiellen Differentialgleichungen der Physik und andere physikalische Anwendungen.- a) Die erste Randwertaufgabe der Potentialtheorie in der Ebene.- b) ?u = f. Greensche Funktion.- c) Membran und Platte.- d) Der Skineffekt.- e) Hilberts Begründung der elementaren Strahlungstheorie.- 6. Durchführung der Theorie für die symmetrischen Kerne.- a) Der Fundamentalsatz. Berechnung des niedrigsten Eigenwertes. Die Schwarzsche Ungleichheit.- b) Realität der Eigenwerte, Orthogonalität der Eigenfunktionen.- c) Das Orthogonalisierungsverfähren.- d) Frage der Entwickelbarkeit einer „willkürlichen“Funktion nach den Eigenfunktionen eines Kerns.- e) Besselsche Ungleichheit. Parsevalsche Gleichung. Vollständigkeit.- f) Konvergenzsätze über die Entwicklung der Kerne bei bestimmten Voraussetzungen.- g) Beweise.- h) Die Antwort auf 6d). Nachtrag zu 6a).- i) Die Auflösung der inhomogenen Gleichung. Partialbruchzerlegung des lösenden Kerns. Der Alternativsatz Fredholms für symmetrische Kerne.- k) Positiv-definite Kerne. Abgeschlossenheit. Variationsprinzipe von Gauss-Hilbert und Dirichlet-Rayleigh. Der Mercersche Satz.- Zweiter Teil. Weitergehende Ausführungen.- 1. Die lineare Integralgleichung erster Art.- Anhang zu l: Wie erkennt man lineare Abhängigkeit ? Die Gramsche Determinante.- 2. Ausgeartete unsymmetrische Integralgleichungen zweiter Art.- 3. Die Fredholmsche Theorie.- 4. Das Verfahren von Enskog.- 5. E. Schmidts Theorie der unsymmetrischen Kerne.- 6. Quellenmäßige Darstellbarkeit und Entwickelbarkeit.- 7. Die polare Integralgleichung.- 8. Hilberts erster Weg über ein algebraisches Problem zur Lösung linearer Integralgleichungen.- 9. Die Methode der unendlich vielen Variablen. Der Hilbertsche Raum.- 10. Unendlich viele lineare Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten..- 11. Die Mathieusche Gleichung.- 12. Abels Integralgleichung.- 13. Singulare Kerne. Beispiele.- 14a. Eine Integralgleichung aus der Theorie der Tragflügel.- 14b. Die Integralgleichung von L. Föppl. (Härteproblem von Hertz).- 15. Einige weitere Orthogonalsysteme und ihre Kerne.- 16. Das Schwingungsproblem von Duffing.- 17. Nichtlineare Integralgleichungen.- Namenverzeichnis.