Erster Teil. Hauptbegriffe der mathematischen Logik. Deduktive Methode.- I. Über die Variablen.- 1. Konstanten und Variablen.- 2. Ausdrücke, die Variablen enthalten: Satz- und Bezeichntmgsfunktionen.- 3. Aufstellung von mathematischen Lehrsätzen mit Hilfe von Variablen.- 4. Der Alloperator und der Existenzoperator; freie und gebundene Variablen.- 5. Die Bedeutung der Variablen für die Mathematik.- Übungsaufgaben.- II. Über den Aussagenkalkül.- 6. Die spezifisch mathematischen und die logischen Ausdrücke; mathematische Logik.- 7. Der Aussagenkalkül; die Negation eines Satzes, die Konjunktion und die Disjunktion von Sätzen.- 8. Die Implikation oder der Bedingungssatz; Bildung von konjugierten Sätzen.- 9. Die Äquivalenz von Sätzen.- 10. Aufstellung von Definitionen; Regeln des Definierens.- 11. Lehrsätze des Aussagenkalküls.- 12. Anwendung von Lehrsätzen des Aussagenkalküls in mathematischen Beweisen.- 13. Regeln des Beweisens, vollständige Beweise.- Übungsaufgaben.- III. Über die Theorie der Identität.- 14. Logische Begriffe außerhalb des Aussagenkalkäls; Begriff der Identität.- 15. Wichtigste Lehrsätze aus der Theorie der Identität.- 16. Die Gleichheit in der Arithmetik und in der Geometrie und ihre Beziehung zu der logischen Identität.- 17. Die Quantitatsoperatoren.- Übungsaufgaben.- IV. Über die Klassentheorie.- 18. Mengen und ihre Elemente.- 19. Mengen und Satzfunktionen mit éiner freien Variablen.- 20. Grundbeziehungen zwischen Mengen.- 21. Operationen mit Mengen.- 22. Gleichzahlige Mengen, Anzahl der Elemente einer Menge, endliche und unendliche Mengen.- Übungsaufgaben.- V. Über die Relationstheorie.- 23. Beziehungen, ihre Vorder- und Hinterglieder; Beziehungen und Satzfunktionen mit zwei freien Variablen.- 24 Einige Eigenschaften von Beziehungen.- 25. Beziehungen, die zugleich reflexiv, symmetrisch und transitiv sind; Abstraktionsprinzip.- 26. Ordnungsbeziehungen; Beispiele von anderen Beziehungen.- 27. Eindeutige Beziehungen oder Funktionen; die Rolle der Funktionen in der Mathematik selbst sowie in den Anwendungen der Mathematik auf die Naturwissenschaften.- 28. Die Satz- und Bezeichnungsfunktionen und der neue Funktionsbegriff.- 29. Umkehrbare F inktionen und die eineindeutige Zuordnung; die Definition des Begriffes der Gleichzahligkeit.- 30. Mehrgliedrige Beziehungen; Funktionen von mehreren Variablen und Operationen.- 31. Die Bedeutung der Logik für die Mathematik.- Übungsaufgaben.- VI. Über die deduktive Methode.- 32. Grundprinzipien des Aufbaus der mathematischen Wissenschaften: Grundbegriffe und definierte Begriffe, Axiome und Theoreme; deduktive Methode als charakteristisches Merkmal der Mathematik.- 33. Formaler Charakter der mathematischen Disziplinen, Modell und Interpretation eines Axiomensystems.- 34. Beispiele von Interpretationen der Axiomensysteme.- 35. Die Willkurlichkeit in der Auswahl von Axiomen und Grundbegriffen; Postulate der Unabhängigkeit.- 36. Postulate der Formalisierung von Definitionen und Beweisen, formalisierte deduktive Disziplinen.- 37. Das Problem der Widerspruchsfreiheit und der Vollständigkeit von mathematischen Disziplinen.- Übungsaufgaben.- Zweiter Teil. Anwendungen der Logik und der Methodologie beim Aufbau eines Bruchstücks der Arithmetik.- VII. Sätze über die Anordnung von Zahlen.- 38. Grundbegriffe des aufzubauenden Bruchstücks der Arithmetik; erste Gruppe von Axiomen.- 39. Sätze der Irreflexivität für die Beziehungen »kleiner als « und »größer als «; indirekte Beweise.- 40. Weitere Sätze über die Beziehungen » kleiner als « und » größer als «.- 41. Die Beziehungen „?“ und ,,?“.- Übungsaufgaben.- VIII. Sätze über die Addition und die Subtraktion.- 42. Zweite Gruppe von Axiomen; einige allgemeine Eigenschaften von Operationen, der Begriff der Gruppe und insbesondere der Abelschen Gruppe.- 43. Kommutative und assoziative Gesetze für eine größere Anzahl von Summanden.- 44. Die Sätze der Monotonie für die Addition und ihre Umkehrungen; ein neuer Typus von indirekten Beweisen.- 45. Geschlossene Systeme von Sätzen.- 46. Folgerungen aus den Sätzen der Monotonie; die üblichste Art von indirekten Beweisen.- 47. Definition der Subtraktion; inverse Operationen.- 48. Bemerkungen über Definitionen, deren Definiendum das Gleichheitszeichen enthält.- 49. Sätze, die die Subtraktion betreffen.- Übungsaufgaben.- IX. Methodologische Betrachtungen über das aufgebaute Bruchstück der Arithmetik.- 50. Überflüssige Axiome in dem ursprünglichen Axiomensystem A, Axiomensystem A?.- 51. Unabhängigkeit der Axiome des Systems A?, Beweise durch Interpretation.- 52. Reduktion der Grundbegriffe im A? Axiomensystem Axiomensystem A?, Begriff der geordneten Abelschen Gruppe.- 53. Das vereinfachte Axiomensystem A? und seine Äquivalenz mit den vorangehenden Systemen; Bemerkungen über die möglichen Umformungen des Systems von Grundbegriffen.- 54. Das Problem der Widerspruchsfreiheit des betrachteten Bruchstücks der Arithmetik.- 55. Das Problem der Vollständigkeit des betrachteten Bruchstücks der Arithmetik.- Übungsaufgaben.- X. Axiomensysteme für die ganze Arithmetik reeller Zahlen.- 56. Unzulänglichkeit des Axiomensystems A für die Begründung der ganzen Arithmetik reeller Zahlen; System A×, seine Grundbegriffe und Axiome.- 57. Nähere Charakterisierung des Systems A×, dichte und stetige Beziehungen; methodologische Vorteile und didaktische Nachteile des Systems A×.- 58. Grundbegriffe und Axiome des Systems A××.- 59. Nähere Charakterisierung des Systems A××: Einheitselement einer Operation, Distributivität einer Operation hinsichtlich einer anderen, der Begriff des Körpers und des geordneten Körpers.- 60. Äquivalenz der Axiomensysteme A× und A××; methodologische Nachteile und didaktische Vorteile des Systems A××.- Übungsaufgaben.- Literaturangaben.
