Die Konfluente Hypergeometrische Funktion Mit Besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung

Das vorliegende Buch behandelt die unter dem Namen der konflu­ enten hypergeometrischen Funktion bekannte höhere transzendente Funktion, der in den physikalischen und technischen Anwendungen der Mathematik eine besonders in den letzten beiden Jahrzehnten ständig steigende Bedeutung zukommt. Es steht außer Zweifel, daß sich diese Tendenz in der Zukunft noch wesentlich verstärken wird, und so wie zunächst die Zylinderfunktionen nur von einigen Wenigen zuverlässig gehandhabt werden konnten, bis sie heute selbst schon dem rechnenden Ingenieur vertraut geworden sind, so wird auch die Theorie der all­ gemeineren konfluenten hypergeometrischen Funktion sehr bald einem immer größeren Kreis von Physikern geläufig sein. In diese Entwick­ lung soll das vorliegende Buch fördernd eingreifen. Die große praktische Bedeutung der hier behandelten Funktion bedarf schon deswegen kaum einer eingehenden Begründung, weil sie einmal eine große Zahl einfacherer spezieller Funktionen, die schon seit langem zum täglichen Werkzeug des Physikers gehören, als Sonderfälle umfaßt. Es genügt, an dieser Stelle zu erwähnen, daß dazu u. a. der Integrallogarithmus, der Integralsinus und -cosinus, das Fehlerintegral, die Fresnelschen Integrale, die Zylinderfunktionen und endlich die Funktionen des parabolischen Zylinders gehören. Es hat also derjenige, der sich die Mühe macht, die konfluente hypergeometrische Funktion eingehender zu studieren, den nicht hoch genug einzuschätzenden Vorteil, daß ihm die Theorie dieser Funktion die Eigenschaften der aus ihr ableit­ baren Funktionen sozusagen von einer höheren Warte aus zu über­ blicken gestattet.

Inhaltsverzeichnis..- I. Abschnitt. Die Differentialgleichung der konfluenten hypergeometrischen Funktion in ihren verschiedenen Formen und die Definitionen der sie lösenden Funktionen.- § 1. Die Kummersche Differentialgleichung und ihre Lösungen.- 1. Die Entstehung der Kummerschen Differentialgleichung durch Konfluenz.- 2. Die Nullpunktslösungen der Kummerschen D. Gl.- 3. Der analytische Charakter der Kummerschen Funktion und ihre wichtigsten Eigenschaften.- 4. Einfache Integraldarstellungen für die Kummersche Funktion.- § 2. Die Whittakersche Differentialgleichung und ihre Lösungen.- 1. Die Whittakersche Differentialgleichung und die Definition der Funktion M?, µ/2 (z) als ihre Nullpunktslösung.- 2. Die Funktion ??, µ/2 (z) in einfachen Sonderfällen.- 3. Einfache Integraldarstellungen für ??, µ/2 (z).- a) Die reine Potenzreihe für M?, µ/2 (z) und eine damit zusammenhängende Integraldarstellung.- 4. Die Whittakersche Funktion W?, µ/2 (z).- 5. Die Funktion W?, µ/2 (z) und das lösende Fundamentalsystem der Wh.D. Gl. für ganzzahlige Werte ,µ • m.- 6. Die Funktionen W?, µ/2 (z) in einfachen Sonderfällen.- 7. Die Wronski sche Determinante der verschiedenen Lösungspaare der Wh.D. Gl.- 8. Die Umlaufsrelationen für die Lösungsfunktionen der Wh. D.Gl..- 9. Das Verhalten der Funktionen M?, µ/2 (z) und W?, µ/2 (z) und ihrer ersten Ableitungen in unmittelbarer Nähe des Nullpunktes.- 10. Die Wertigkeit der Funktionen ??, µ/2 (z) und W?, µ/2 (z) bei komplexen Werten von z und x, aber reellen Werten von ,u.- § 3. Verwandte Differentialgleichungen. Die Funktionen des parabolischen Zylinders. Höhere Ableitungen.- 1. Differentialgleichungen, die auf die Whittakersche zurückgeführt werden können.- 2. Eine der Wh.schen D. Gl. zugeordnete inhomogene D. Gl.- 3. Die Funktionen des parabolischen Zylinders.- 4. Die Wronskis für die verschiedenen Fundamentalsysteme der Weberschen D. G1.- 5. Die einfachsten Integraldarstellungen für die Funktionen Dv,(z) und Ev(0, 1) (z).- 6. Formeln für die höheren Ableitungen der beiden Whittaker Funktionen.- § 4. Die Funktionen des Drehparabols und des parabolischen Zylinders als Partikularintegrale der Wellengleichung in den entsprechenden Koordinaten.- 1. Die Koordinaten des Drehparabols und die Form der Wellengleichung in diesen Koordinaten.- 2. Die separierten Lösungen der Wellengleichung in den Funktionen des Drehparabols.- 3. Die Koordinaten des Zylinderparabols und die zugehörige Form der Wellengleichung.- 4. Die Lösungen der separierten Wellengleichung in den Funktionen des Zylinderparabols.- II. Abschnitt. Allgemeine Integraldarstellungen für die parabolischen Funktionen selbst und ihre Produkte.- § 5. Integraldarstellungen für die einfachen parabolischen Funktionen.- 1. Integrale mit doppelt verzweigtem binomischen Kern.- 2. Integrale mit dem wesentlich singulären Kern exp (-z/2 • 𝕿gv).- 3. Komplexe Integrale auf der Basis des Ha n k e l schen Integrals.- 4. Integrale vom Mellin typus.- 5. Integrale mit willkürlichem Parameter für die Funktion W?, µ/2 (z).- 6. Anwendung der Integraldarstellungen zur Herleitung der Rekursionsformeln.- § 6. Integraldarstellungen für die Produkte aus zwei parabolischen Funktionen.- 1. Die einfachsten Formen solcher Integrale.- III. Abschnitt. Die Asymptotik der parabolischen Funktionen.- § 7. Die Asymptotik bei großen Werten von z oder µ oder ?.- 1. Das asymptotische Verhalten hinsichtlich z.- 2. Das asymptotische Verhalten hinsichtlich µ bei einem von µ unabhänzigen Wert von ?.- 3. Das asymptotische Verhalten der Funktion % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWefv3ySLgznf % gDOfdaryqr1ngBPrginfgDObYtUvgaiuaaqaaaaaaaaaWdbiab-nti % n9aadaWgaaWcbaWdbiaadIhacqGHXcqSdaWcaaWdaeaapeGaeqiVd0 % gapaqaa8qacaaIYaaaaiaacYcapaGaaGjcV-qacqaHXoqycqGHRaWk % daWcaaWdaeaapeGaeqiVd0gapaqaa8qacaaIYaaaaaWdaeqaaOWdbm % aabmaapaqaa8qacaWG6baacaGLOaGaayzkaaaaaa!512B!$$ {\mathcal{M}_{x \pm \frac{\mu }{2},{\kern 1pt} \alpha + \frac{\mu }{2}}}\left( z \right)$$.- 4. Das asymptotische Verhalten hinsichtlich ?.- § 8. Die Asymptotik bei großen Werten von z und ?.- 1. Die Sattelpunktsmethode.- 2. Das Verfahren von E. Langer.- IV. Abschnitt. Unbestimmte und bestimmte Integrale mit parabolischen Funktionen und einige unendliche Reihen.- § 9. Unbestimmte Integrale mit parabolischen Funktionen.- 1. Unbestimmte Integrale mit dem Produkt zweier parabolischer Funktionen.- 2. Beispiele.- § 10. Die Laplace-Transformierte der parabolischen Funktionen.- 1. Die Laplace- und Mellin-Transformierten, der Funktion ??, µ/2 (z).- 2. Die Laplace- und Mellin- Transformierten der Funktion W?, µ/2 (z).- § 11. Verschiedene weitere Integrale mit parabolischen Funktionen und einige unendliche Reihen.- 1. Integrale vom Stieltjes schen und Hanke 1 schen Typus.- 2. Das Additionstheorem der Parameter für die Funktion ??, µ/2 (z).- 3. Ein allgemeines Prinzip zur Herleitung einer unendlichen Reihe mit den Funktionen ??, µ/2 (z).- 4. Eine unendliche Reihe mit halbzahligen Bessel scheu Funktionen für ??, µ/2 (z).- V. Abschnitt. Die den parabolischen Funktionen zugehörenden Polynome und unendliche Reihen mit diesen Polynomen.- § 12. Reihen und Integrale mit Laguerre- Polynomen.- 1. Zusammenstellung und Ergänzung des Formelmaterials.- 2. Reihen und Inte xrale mit Laguerre- Polvnomen.- § 13. Reihen und Integrale mit Hermite-Polynomen.- 1. Zusammenstellung und Ergänzung des Formelmaterials.- 2. Reihen und Integrale mit -Hermite-Polynomen.- § 14. Weitere besondere Polvnome und Funktionen.- 1. Die Polynome von Charlier.- 2. Die k-Funktion von H. Bateman.- 3. Das verallgemeinerte Neumann sche Polynom.- 4. Die Polynome von Sonine.- VI. Abschnitt. Die Parameterintegrale in den Beziehungen für die verschiedenen Wellentypen der mathematischen Physik in den parabolischen Koordinaten.- § 15. Integrale über den vorderen Parameter von zwei und vier parabolischen ?-Funktionen.- 1. Die Ausgangsreihe und, die Integrale über ?-Funktionen.- 2. Eine zweite Ausgangsreihe und Integrale über Produkte von ?- und W-Funktionen und W-Funktionen allein.- § 16. Die Integraldarstellungen für die verschiedenen Wellentypen der mathematischen Physik.- 1. Einleitende Bemerkungen.- 2. Die verschiedenen Wellentypen in den Koordinaten des Drehparabols.- a) Die Zylinderwelle.- b) Die ebene Welle.- c) Die stehende und fortschreitende tesserale Kugelwelle.- d) Die gewöhnliche, fortschreitende Kugelwelle mit beliebig gelegenem Erregungszentrum.- 3. Die verschiedenen Wellentypen in den Koordinaten des Zylinderparabols.- a) Die ebene Welle.- b) Die nach außen fortschreitende und die stehende sektorielle Zylinderwelle mit der Brennlinie als leuchtender Linie.- c) Die nach außen fortschreitende, axialsymmetrische Zylinderwelle bei beliebiger Lage der zur Brennlinie parallelen leuchtenden Linie.- d) Die gewöhnliche fortschreitende Kugelwelle bei beliebiger Lage des Erregungszentrums.- VII. Abschnitt. Nullstellen und Eigenwerte.- § 17. Die Nullstellen der Funktion ??, µ/2 (z).- 1. Über die Nullstellen von ??, µ/2 (z) in bezug auf z.- 2. Über die Nullstellen von ??, µ/2 (z) in bezug auf ?.- 3. Die Nullstellen von W?, µ/2 (z) hinsichtlich z.- § 18. Eigenwertprobleme mit parabolischen Funktionen.- 1. Die Eigenschwingungen einer gespannten Saite mit parabolischer Massenbelegung.- a) Die expliziten Näherungsformeln für die Eigenfreuenzen.- 2. Die Greensche Funktion der ersten homogenen Randwertaufgabe der Wellengleichung in einem von konfokalen Drehparabolen begrenzten Raum.- a) Die Forderungen an die Green schen Funktionen 1. und 2. Art.- b) Die dreidimensionale Greensche Funktion der ersten homogenen Randwertanfgabe.- c) Die Entwicklungen für die Green schen Funktionen G1 und G2 im Falle ?i? = 0 nach Eigenfunktionen.- d) Die nach Laguerre- Polynomen